甲沟炎是指甲皮被细菌感染引起的炎症，灰指甲则是指指甲发生真菌感染导致的指甲变形和颜色改变。治疗甲沟炎和灰指甲的方法主要包括局部护理、药物治疗和手术治疗。以下是详细的治疗原因的有序陈述：

1. 局部护理：甲沟炎和灰指甲的初期症状包括指甲周围的红肿、疼痛和轻微渗液，这时可以通过局部护理来缓解症状和促进愈合。局部护理包括泡脚、清洁指甲周围的皮肤、剪去患部的死皮和指甲边缘的角质层等。这些措施可以减轻症状，促进伤口愈合，并预防细菌和真菌的进一步感染。

2. 药物治疗：对于甲沟炎和灰指甲的严重症状和感染，可以使用抗生素和抗真菌药物进行治疗。抗生素可以杀死引起感染的细菌，抗真菌药物可以抑制真菌的生长。这些药物可以通过口服、外用或局部注射等方式使用。药物治疗的持续时间根据病情的严重程度和个体差异而有所不同，通常需要持续数周或数月。

3. 手术治疗：如果甲沟炎或灰指甲的症状和感染无法通过局部护理和药物治疗得到控制，或者已经出现严重的指甲变形和疼痛，可能需要考虑手术治疗。手术治疗主要包括甲沟炎的切开引流和灰指甲的手术修整。甲沟炎的切开引流可以清除伤口中的脓液和细菌，促进伤口的愈合。灰指甲的手术修整可以去除变形的指甲，促进新指甲的生长。

4. 预防措施：甲沟炎和灰指甲的复发率较高，因此预防措施也很重要。保持指甲的清洁和干燥，避免长时间浸泡在水中，选择合适的鞋袜，避免使用他人的鞋子和修甲工具等都是预防甲沟炎和灰指甲的有效方法。

总结起来，甲沟炎和灰指甲是可以治愈的，但治疗的效果和持续时间取决于病情的严重程度和个体差异。早期的甲沟炎和灰指甲可以通过局部护理和药物治疗得到控制和治愈，严重的病例可能需要手术治疗。此外，预防措施也很重要，可以减少疾病的复发风险。因此，及早发现症状并积极治疗，同时加强预防措施，可以提高治愈的可能性。